第一章：相似三角形模型汇总

模型一、A字型

1.A型（平行）

条件：DE∥BC 求证：△ADE∽△ABC

2.斜A型（不平行）

条件：∠ADE=∠B

求证：△ADE∽△ABC

模型二、X型（8字型）

1.8字型（平行）

条件：AB∥CD 求证：△AOB∽△DOC

2.斜X型（蝴蝶型）

条件：∠A=∠C

求证：△AOB∽△COD

模型三、子母型（共边共角型）

1.非直角三角形 条件：∠ACD=∠B

求证: △ACD∽△ABC

2、双垂型

条件：①AC⊥BC,CD⊥AB

求证： △ACD∽△ABC∽△CDB；

；

（射影定理）

模型四、旋转型

条件：①△OCD∽△OAB ②将△OCD旋转得图2

求证：①△OAC∽△OBD

②延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠AOB

模型五、共享型

1.共角 条件:∠B=∠C

求证：△ACD∽△ABF △ECF∽△EBD

2.等角 条件:AB=AC,∠BAC=60°，∠DAE=120°

求证：△ABD∽△ECA

模型六、一线三等角（K型）

1.三垂直型

条件:∠B=∠ACE=∠D=90°

求证：△ABC∽△CDE

2.一线三等角

条件:∠B=∠ACE=∠D

求证：△ABC∽△CDE

3.一线三等角+角平分线

条件：①∠B=∠ACE=∠D；②∠CAB=∠CAE

求证：①△ABC∽△CDE∽△ACE

②∠CEA=∠CED

③BC=CD

模型一.A字型

1．如图，已知DE//BC，AD=5，DB=3，BC=12，∠B＝50º，则∠ADE＝ °，DE=，_________.

第1题图 第2题图 第3题图

2．如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m则梯子的长为()

A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m

3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？

练习

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则()

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第1题 第2题 第3题

2.如图，在△ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则的值为________．

3.如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.E

F与CD交于点G.（1）求证：BD∥EF.（2）若,BE=4,求EC的长.

斜A字型

1.如图，已知点E在AB上，若点D在AC上，DE不与BC平行，则满足条件，就可以使△ADE与原△ABC相似.

第1题 第2题 第3题

2.如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE＝37°，则∠B＝________°.3.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是()

A.16 B.14 C.16或14 D.16或9

3.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求D点运动的时间．

4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交DE，BC于点F，G，且

=

．

（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若

=

，求

的值．

模型二．8字型

1．如图，已知

与

相交于点，AB=4,CD=8,AD=12，则PD的长等于______.

第1题 第2题 第3题

2.如图，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝8，EF＝12，则BF的长为_______.3.如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AF=

DF, FE与AC相交于G，则AG:AC=_____

练习

1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA的长为________．

第1题 第2题

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝________．

3． 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．

4.如图，已知，若，，求证：

.斜8字型

1.如图，四边形的对角线相交于点，∠DAO=∠CBO,求证：

(1)△AOD∽△BOC；(2)△AOB∽△DOC.

2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3： 5，AE=8，BD=4，求DC的长．

3.如图，已知等边，点

在边

上，点

是射线

上一动点，以线段

为边向右侧作等边，直线

交直线

于点，（1）写出图中与

相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

4.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为边在△ABC外作等边△ACD，点E在BC边上（不与点B、C重合），点F在BC延长线上，∠AED=∠F=60º，DE交AC于G，（1）求证：△DEF是等边三角形；（2）若BE=8，CE：CF=3:5，求DG的长度.模型三:母子型

例1.如图，点D在AB上，当∠B＝∠ 时，△ACD∽△ABC.

例2.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,求证:①ΔABC∽△ADB；②AB2=AC·AD；③­AB·BC=AC­·CD.例3.如图，已知ΔABC中，D是BC上一点，BD=10，DC=8，∠B＝∠DAC，E为AB上一点，DE//AC，求AC和DE的长．

例4：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．

例5：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,

．

求证：（1）

；（2）

．

例6：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证：

．

双垂型：

1.如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是BC上的高，由三角形相似容易得到如下结论：1.CD2=_________，2.AC2=________，3.BC2=______.

2.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于D，若AD=4，BD=1，则CD=（）

A.2 B.4 C.

D.3

3.如图, 在

中,

，

于

，若BD=4,BC=6，则AB=_____.

4.如图, 在

中,

，

于

，若BD=2,BA=8，则BC=_____.

5.如图,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3，AB=4,D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，求AD长.

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为( )

A．3； B．4； C．5； D．6

7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝

模型四．旋转型：

1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

2.如图，设

，则

吗？说明理由.

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B