§3

特殊几何体外接球的计算

底面为正三角形三棱锥（柱）

①（为高，为底边长）

底面是等腰直角三角形三棱锥（柱）

②（为高，为底面短边长）

底面是等腰三角形（30°，30°

120°）三棱锥（柱）

③（为高，为底面短边长）

底面是直角三角形（30°，60°，90°

三棱锥（柱）

④（为高，为底面短边长）

底面是矩形四棱锥（柱）

⑤（为底面短长、宽）

底面是一般直角三角形三棱锥（柱）

⑥（为底面两直角边）

秒杀知识点

球内接几

何体有一

条侧棱垂

直于底面

侧棱两两垂直的三棱锥

⑦（，为三侧棱长）

对棱两两相等的三棱锥

⑧（，为三对对棱长）

正三棱锥

⑨（为高，为底面边长）

正四棱锥

⑩（为高，为底面边长）

特殊球内接三棱锥或正四棱锥

秒杀思路分析

记忆方法：（1）第一类几何体均有，三棱柱，等腰直角三角形，矩形．

（2）第二类几何体，两两垂直为，两两对等为．正三棱锥为3→6，正四棱锥2→4．

秒杀思路分析

这里给出的几种特殊几何体只是高考中出现频率较高的类型，并不是全部．解题关键就是判断试题给出的几何体是属于哪种类型，然后再代入公式“速解”，也有可以转化为以上几种类型之一的形式的试题．

只有多练习、强化记忆才能熟练掌握。特别是对于文科学生做图比较困难，空间想象力较差的同学，熟记公式更能体现“秒杀”效果．

【示例1】（2008年浙江卷理14）已知球的面上四点，，，，则球的体积为

．

【示例2】（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的半径为（）

A．

B．

C．

D．

【示例3】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为

．

方法对比

【例1】（2014年全国大纲卷理8、文10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【例2】（2018年沈阳郊联体一模文11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

秒杀训练

【试题1】三棱锥中，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【试题2】在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球表面积为

．

【试题3】在正三棱锥中，分别是棱，的中点，且，若侧棱