第一篇：3.1.2空间向量基本定理学案范文

3．1．2空间向量的基本定理

一．自学达标： 1．共线向量定理：

2．共面向量定理：

3．空间向量分解定理:

,b,

4．ac可作空间的基底的充要条件是：

5．已知平行六面ABCD-Aa,ADb,AA

1B1C1D1,AB1c，试用基底{a,b,c}表示如下向量AC1,BD1,CA1,DB

1二．例题精选：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，设

ABa,ACb,AA

1c，M,N分别为AC1 ,BC中点，证明：（1）MN，a,

c共面

（2〕证明：MN

A1B

例2：空间四边形中，OAa,OBb,OC

c，M,N分别

为OA,BC中点，G在MN上，NG2GM，用基底

{a,b,c}表示MN，OG

三．达标练习：

1．下列命题正确的是（）



A．若a与b共线，b与c共线，则a与ca共线



B．向量、b、c共面即它们所在的直线共面

Ｃ．零向量没有确定的方向b

Ｄ．若a，则存在唯一的实数，使ab

2.设空间四点O、A、B、P，满足OPmOAnOB，其中

mn1，则（）

A.P在直线AB上B.P不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对

3.①任意给出三个不共面的向量都可以作为一个基底②已知

ab，则a，b

与任何向量都不能构成空间一个基底③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN

不能构成空



间的一个基底，则A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空



c间的一个基底，若ma，则{a,b,c,m}

也是空间的一个基底。其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

{a,b,

4．若c}是一组基底，则xyz0是

xaybzc的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在B和D11

1B1D上，且BE3B1B，DF3

D1D。

（1）证明A,E,C1,F四点共面；

（2）若EFxAByADz

AA1，求xyz

自助餐：对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有OPxOAyOBzOC

(x,y,zR)，xyz1，证明A,B,C,P四点共面

第二篇：空间向量基本定理

空间向量的基本定理

姚旺河

一、教学目标:

1、知识与技能: 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。

2、过程与方法: 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

3、情感态度与价值观: 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，培养学生的探索精神。

二、教学重点和难点

重点：共线、共面定理及其应用;空间向量的基本定理及其推论

难点：空间向量分解定理唯一性的理解

三、教学方法：根据本节课的特点，尝试运用“问题探究式”教学法，遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，教师“诱”在点上，学生动脑思，动手探。

四、教学手段：多媒体辅助教学

五、教学设计

1．共线（平行）向量的定义：

2．空间任意两个向量a,b(b0),a//b的条件:

3．平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a；

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是



1．向量与平面平行：（大约5分钟）

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

2

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

pxayb．

：练习A1、2、3、4'''

例1 已知斜三棱柱ABCABC，设，，AA。在面'

对角线AC上和棱BC上分别取点M和N，使AMkAC,BNkBC

'C'

'

（0k1）。求证与向量和共面。

用和的线性表示就可证明共面。

'''''

例2已知平行六面体ABCDABCD,设,,AA,''''

试用基底{a,b,c}表示如下向量：AC,BD,CA,DB

C'

学生先自主做，教师引导点出空间内的任意向量都可用三个不共面的向量表示，从而引出空间向量基本定理。

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量



p，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，使xy证明：（存在性）设，不共面，过点O作OAa,OBb,OCc,OPp

过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；

在平面OAB内，过点P作直线PA//OB,PB//OA，分别与直线OA,OB相交于点

A,B，于是，存在三个实数x,y,z，使

OA/OAxa,OB/OByb,OC/OCzc



∴OPOAOBOCxOAyOBzOC，所以 xyz

（唯一性）假设还存在x,y,z使px/e1y/e2z/e3 ∴xe1ye2ze3x/e1y/e2z/e3 ∴(xx/)e1(yy/)e2(zz/)e3

yy/zz/不妨设xx即xx0∴e1e2e

3xx/xx/

∴e1,e2,e3共面此与已知矛盾∴该表达式唯一

由此定理，若三向量，不共面，那么空间的任一向量都可由，线性表示，我们把{，}叫做空间的一个基底，，叫做基向量。

②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．

例3 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC



的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG



解：OGOMMG

C

A

B

2OMMN

21

OA(ONOM)23

2111

OA[(OBOC)OA]232

2111

OA(OBOC)OA233

111

OAOBOC633

∴OG

1OAOBOC

633

1．知识：共线向量定理和共面向量定理； 2．题型与方法：

3．数学思想方法：类比,数形结合,等价转化 4．注意问题：



1．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

2．已知ai2jk,bi3j2k,c3i7j，证明这三向量共面。

七、布置作业

1．已知三个向量a,b,c不共面，并且pabc，q2a3b5c

71822，向量，是否共面？

1．（选做）对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式



OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

2．（选做）已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件

122，OPOAOO C

555

试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

第三篇：空间向量的基本定理

§9.5.4空间向量的基本定理

教学目标：

⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念

教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）． 教学难点：空间作图． 教学方法：讲授法． 教学过程设计：

一、复习引入

1．复习向量与平面平行、共面向量的概念．

区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

2．空间共面向量定理及其推论．

（1）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得

p= xa+yb ．（2）共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyMB．②

OP(1xy)OMxOAyOB ③

今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．

二、新课讲授

问题1：右图中的向量AB、AD、AA'是不共面的三个向量，请问向量AC'与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？AC'ABADAA'． 由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量． 问题2：如果向量AB、AD、AA'分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量AC'？AC'＝xa+yb+zc

事实上，对空间任一向量AC'，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理： 如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．

证明：存在性：（见课本P31）

唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，则有

xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．

∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y’且z＝z’． 故实数x、y、z是唯一的．

由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．

说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）

③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．

由定理的证明过程（P32第一行）可以得到下面的推论：

设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使

OPxOAyOBzOC．

说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面． 例４（见课本P32）

三、课堂练习

课本P

练习

四、课时小结

⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．

⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．

五、课后作业

⒈课本P36

习题9.5

⒈

⒉ 教学后记：

第四篇：平面向量基本定理

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然——苏步青

平面向量基本定理

教材分析：

平面向量基本定理是学习向量的一个非常重要的内容，它是应用平面向量知识解决平面几何问题的一个重要而有效的工具．它可以由数乘向量的几何意义以及向量的矢量的合成与分解导出．同时，平面向量基本定理在几何中又有着及其重要的应用：

一方面，可以利用基本定理将任意一个向量代换成统一的基向量，另一方面，在向量的平面直角坐标系的建立方面更是一个理论基石，从空间来看平面向量基本定理，理，从而提供了线共面与点共面的又一种证明方法——向量法．

有着广泛的应用空间．是学好向量问题的基础，更是利用向

教学目标：

23教学重难点：

让学生在例题中体

增强学生对平面向量基本

定理的应用意识．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结．

从学生知识结构出发，先由已学过的数乘向量以及向量的平行四边形法则和三角形法则进行矢量作图，从实际作图中得出概念和结论，即形成性归纳与总结，这是符合学生认知规律的教学．用旧知识生成新知识，这是一个知识的再生与创造的过程，教学过程中让学生动