线性代数知识点总结

行列式

（一）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

（三）按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则

（7）若A与B相似，则|A|=|B|

（五）克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

矩阵

（一）矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、转置的性质（5条）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩阵的逆

3、逆的定义：

AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1

注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）

（1）（kA）-1=1/k·A-1

(k≠0)

（2）（AB）-1=B-1·A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

（三）矩阵的初等变换

6、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质：

（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）

★（四）矩阵的秩

9、秩的定义：非零子式的最高阶数

注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×n）=n（满秩）←→

|A|≠0

←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

10、秩的性质：（7条）

（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±B）≤r（A）±（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

（五）伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质：（8条）

（1）AA*=A*A=|A|E

→

★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|

n-2·A

★（8）r（A*）=n

（r（A）=n）；

r（A*）=1

（r（A）=n-1）；

r（A*）=0

（r（A）＜n-1）

（六）分块矩阵

13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

14、分块矩阵求逆：

向量

（一）向量的概念及运算

1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα

2、长度定义：

||α||=

3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E

←→

A-1=AT

←→

ATA=E

→

|A|=±1

（二）线性组合和线性表示

5、线性表示的充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）

6、线性表示的充分条件：（了解即可）

若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：（大题第二步）

设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）

行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0

（三）线性相关和线性无关

8、线性相关注意事项：

（1）α线性相关←→α=0

（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例

9、线性相关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性相关

（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s

即秩小于个数

特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关

（1）←→

r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn

|=0

（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆

10、线性相关的充分条件：

（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

（2）部分相关，则整体相关

（3）高维相关，则低维相关

（4）以少表多，多必相关

★推论：n+1个n维向量一定线性相关

11、线性无关的充要条件

向量组α1，α2，…，αs

线性无关

（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn

线性无关

←→r（α1，α2，…，αn）=n

←→|α1，α2，…，αn

|≠0

←→矩阵可逆

12、线性无关的充分条件：

（1）整体无关，部分无关

（2）低维无关，高维无关

（3）正交的非零向量组线性无关

（4）不同特征值的特征向量无关

13、线性相关、线性无关判定

（1）定义法

★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

【专业知识补充】

（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

（2）若n维列向量α1，α2，α3

线性无关，β1，β2，β3

可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。

←→r（β1，β2，β3）=3

←→

r（C）=3

←→

|C|≠0

（四）极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

★注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★16、极大线性无关组的求法

（1）α1，α2，…，αs

为抽象的：定义法

（2）α1，α2，…，αs

为数字的：

（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

（五）向量空间

17、基（就是极大线性无关组）变换公式：

若α1，α2，…，αn

与β1，β2，…，βn

是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n

其中，C是从基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐标变换公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1

+

x2α2

+

…

+xnαn

=y1β1

+

y2β2

+

…

+ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

设α1，α2，α3

线性无关

（1）正交化

令β1=α1

（2）单位化

线性方程组

（一）方程组的表达形与解向量

1、解的形式：

(1)一般形式

(2)矩阵形式：Ax=b；

(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

2、解的定义：

若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）

（二）解的判定与性质

3、齐次方程组：

（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：

（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解

【推广】

（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为

Ax=b的解

（当Σki=1）

Ax=0的解

（当Σki=0）

（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基础解系

6、基础解系定义：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs

是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs

线性相关

（3）A